何为“线性”

咬文嚼字

线性代数一词中，代数二字的含义不必多言。无论是初等代数还是抽象化的结构，其本质都是用普适的对象取代确切的数字本身，以寻求普遍的规律。（$\text{e.g. 二次函数求根公式} x = \frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac }}{2a}\text{就是一种普遍的规律}$）

那么，线性代数就应当是一门研究线性变换的规律的学科。

线性变换

对任何一个对象进行线性变换，都要遵从两条铁律。放心，这两条规则实际上能帮助你简化问题

1. 平直。也就是没有弯曲。线性变化前后，直线平面绝不可能变成曲面曲线，即研究对象被限制在了“一切平直的东西里”。
2. 均匀。如果打开空间的网格线，那么线性变化前后：
   1. 网格线还是直线
   2. 网格线的间距还是一致的
   3. 原点不能动

言外之意，线性变换可以将空间旋转拉伸，但绝不会平移或扭曲空间。

代数上的形式更加简洁。对于一个线性变换$f$，其应当满足：

1. $f(x)+f(y) = f(x+y)$
2. $af(x)=f(ax)$

好眼熟啊，不是吗？你应当立刻联想到了好多东西：

• $f(x)=kx$ 一定是线性的！更进一步，升入二维三维甚至更高维，形如$\vec{f}(\mathbf{x})=(c_{1}x_{1},c_{2}x_{2},c_{3}x_{3},\dots)$ 之类的函数也是线性的。如果画出转化的过程，也无外乎点，直线，平面，超平面……之间的转化，完全符合平直与均匀两大规则
• 言外之意，线性变换的每个分量都是坐标分量的一次齐次式，或者叫线性组合
• 向量的加减数乘运算也完美的符合！这也叫向量的线性组合
• 求导，不定积分也是线性的！只需要将线性变换$f$分别看作：$f: \frac{d}{dx}$，$f: \int dx$即可！
• 高中圆锥曲线的“妙招”之一仿射变换，似乎更准确来说是一种线性变换（只要你不平移）

示例

1. 剪切变换：点的水平位移量与它的高度（$y$ 值）成正比。这是一个线性变换

   1. 

2. 抛物线扭曲变换，显然这不是线性变换

   1. 

3. 极坐标变换：$f(x, y) = (\sqrt{x^2 + y^2}, \arctan(y/x))$ 尽管很酷炫，但它并不在线性代数研究的范围内

   1. 

总结

根据线性变换良好的性质，对于一个复杂的问题$f(ax+by)$，我们可以分解为$af(x)+bf(y)$来逐个解决。早在学习导数和不定积分的时候，我们就已经享受到了将加减号联接的两个式子拆开，逐个击破的便利。因此，说线性代数简化了问题绝非空穴来风，说线性代数的思想早有苗头绝非危言耸听。

可能是因为线性代数这四个字长得吓人，因此在高中，（至少笔者）没见过哪位老师会暗戳戳的释放这些思想。

同时，由于尚未学习矩阵，本文中所有的变换均以数值函数的形式给出。后续的线性变换会逐步引入矩阵来表示。

此外，线性代数同时承担了工具与思想的双重属性。笔者通过18年的人生悟出来：工具易逝，思想长存。因此，建议各位读者朋友 学 着 玩！

习题

1. $f(x) = kx+b$ 一定是线性变换吗？
2. 讨论：当$k,b$ 满足什么条件时，$f(x) = kx+b$ 是一个线性变换.
3. 下列动图中，哪一个变换表示是线性变换？
   1. 
   2. 
   3. 
4. 选出所有线性的变换.
   1. $f_{1}(x) = 3x$
   2. $f_{2}(x) = 4x-2$
   3. $\vec{f_{3}}(x) = (x,x^{2},x^{3})$
   4. $\vec{f_{4}}(x,y,z)=(x,z,y)$
   5. $\vec{f_{5}}(x,y)=(x,y^{2})$
   6. $\vec{f_{6}}(x,y) = (y,-x)$
5. 用自然语言描述上述的线性变换的效果，如：$\vec{f_{6}}$ 表示将二维平面顺时针旋转九十度.
6. $\vec{f_{6}}(x,y) = (y,-x)$ 表示二维平面中的一个旋转变换。更进一步的，你能写出二维平面中逆时针旋转任意角度（$\theta$）对应的变换吗？
   1. 提示1：复数乘法法则是模长相乘，辐角相加.
   2. 提示2：二维平面是由一对基底向量张成的，平面旋转意味着基底旋转.
7. 想必你已经发现了，线性代数操作的基本对象是：向量！非线性变换需要对定义域内每一个向量进行变换，而线性变换只需要对基底向量进行线性变换，然后再线性组合

题解

1. 不一定，线性变换前后原点不能动，因此常数项应当为零.
2. $b = 0$. 思考，$k,b$均为0时，这是怎样的线性变换？
3. 全都不是
4. 1, 4, 6.
   1. 2 不应有常数项.
   2. 3 是将数轴弯曲成了三维空间中的一条曲线.
   3. 5 把脸放在垂直于x轴的那个平面，观察可知是将平面卷成了抛物线的形状.
      1. 
5. $f_{1}:$ 将数轴压缩为原来的$\frac{1}{3}$; $f_{4}:$ 将$y$轴与$z$轴互换位置.
6. $f(x,y)=(x\cos \theta-y\sin \theta, x\sin \theta+y\cos \theta)$.

第四题第五个变换的动图代码如下图所示，可前往Manim 官方网站进一步学习.

from manim import *
import numpy as np

class NumberLineTo3DCurve(ThreeDScene):
    def construct(self):
        line = NumberLine()
        axes = ThreeDAxes()
        labels = axes.get_axis_labels()

        def cubic_function(t):
            x = t
            y = t**2 * 0.5 # 防止屏幕装不下
            z = t**3 * 0.1
            return np.array([x, y, z])

        curve = ParametricFunction(
            cubic_function,
            t_range=[-3, 3, 0.01],
            color = BLUE
        )

        group = AnimationGroup(
            FadeIn(axes, labels),
            Transform(line, curve),
            lag_ratio=0 # 0代表完全同步
        )

        text = Tex("$f(x) = (x, x^{2}, x^{3})$").to_corner(UL).set_color(YELLOW)
        self.add_fixed_in_frame_mobjects(text)
        self.play(Create(line))
        self.wait()
        self.move_camera(
            phi=75 * DEGREES,
            theta=45 * DEGREES,
            run_time=2,          
            rate_func=smooth 
        )
        self.play(group)
        self.wait(3)